HDR yn ffiseg :: Mathemateg ar gyfer Ffisegwyr, ac i'r gwrthwyneb

Mae'n rhyfeddol faint o broblemau yn ffiseg sy'n ddatrysadwy drwy rhif gweddol fychan o HDR gweddol syml. Fe cyflwynir pedwar ohonynt ar y dudalen hwn, a fe'u datrysir ar y tudalennau nesaf. Mae'r un hafaliad yn medru codi mewn gwahanol cyd-destunau - ond efo gwahanol symbolau o bosib. Mae'n bwysig adnabod y math o hafaliad dim ots o pa symbolau sy'n cael eu defnyddio!

Electrostateg

mewn ardal ddi-wefr:
- mae yna dal potensial trydanol sy'n cael ei ddiffino: φ
- mae'r maes trydanol cyfatebol ddim o rheidrwydd yn sero: $\vec{E}=(\frac{\partial\phi}{\partial x},\frac{\partial\phi}{\partial y},\frac{\partial\phi}{\partial z})$
- ond mae'n gyson trwy'r gofod: $\vec{\nabla}\vec{E}=$ $\nabla^2\phi=0$

Mae'r HDR a amlygir yn cael ei alw'n hafaliad Laplace.
Y gweithredydd del (y triongl ben-i-waered) yw'r differydd ar hyd y graddfa mwyaf serth.

mewn ardal yn cynnwys gwefr:
- potensial: φ
- maes trydanol: $\vec{E}=\vec{\nabla}\phi$
- sydd yn newid oherwydd gwefrau: $\vec{\nabla}\vec{E}=$ $\nabla^2\phi=f(x,y,z)$

Fe elwir y HDR a amlygir yn hafaliad Poisson.

Mae'r un hafaliadau yn sefyll hefyd

mewn mecaneg: amnewidiwch potensial trydanol gyda photensial disgyrchol
mewn thermodeinameg: amnewidiwch potensial trydanol gyda thymheredd

Trylediad

Newid mewn crynodiad yw trylediad, c, proffil mewn amser, t: $\nabla^2c=a\frac{\partial c}{\partial t}$

Gelwir y HDR yn hafaliad trylediad.

Mae'r un hafaliad yn ddefnyddiol yn thermodeinameg, lle mae'n disgrifio llif gwres dros amser. Mae hafaliad amser-ddibynnol Schrödinger mewn mecaneg cwantwm hefyd yn dilyn yr un patrwm.

Acwsteg

Mae dirgryniant pilen (membrane) yn dilyn yr un patrwm osileiddio mewn gofod ac amser. Yn gyffredinol mewn mecaneg, mae symudiad pendilm neu llinyn sy'n dirgrynu yn dilyn yr un patrwm. Mewn electrodeinameg, mae cyfnewid egni rhwng y meysydd trydanol a magnetig yn cael ei ddisgrifio yn yr un ffordd.

Pryd bynnag mae egni yn cael ei drosglwyddo'n beriodaidd rhwng dau gwahanol ffurf (e.e. potensial - cinetig neu trydanol - magnetig), mae'r hafaliad don yn cael ei ddefnyddio i ddisgrifio'r broses: $\nabla^2r=a\frac{\partial^2r}{\partial t^2}$

Crynodeb

Mae'r uchod i gyd yn HDR 2il radd. Mae'r ochr chwith wastad yn ail ddifferyn gofodol, ond mae'r ochr dde yn newid:

Hafaliad Laplace	$\nabla^2u=0$	homogenaidd
Hafaliad Poisson	$\nabla^2u=f(x,y,z)$	heterogenaidd, ond heb differynnau yn y term heterogenaidd
hafaliad trylediad	$\nabla^2u=a\frac{\partial u}{\partial t}$	differyn amser gradd 1af yn y term heterogenaidd
hafaliad ton	$\nabla^2u=a\frac{\partial^2u}{\partial t^2}$	differyn amser 2il radd yn y term heterogenaidd

Cyn datrys hafaliad Laplace, byddwn yn adolygu'r gweithredydd del yn yr adran nesaf.