[English]

Esbonyddion cymhlyg yn ffwythiannau cyfnodol

Gellir mynegi sinau a cosinau real fel esbonyddion cymhlyg:
\sin{nx}=\frac{e^{inx}-e^{-inx}}{2i};\cos{nx}=\frac{e^{inx}+e^{-inx}}{2}
Mae nifer o brosesau ffisegol yn gyfnodol a gellir eu trin fel cyfuniad o ffwythiannau sin neu cosin. Yn ychwanegol, rydym wedi gweld fod modd ehangu nifer o ffwythiannau, hyd yn oed rhai anghyfnodol, fewn i gyfres Fourier, h.y. cyfres o harmoniau sin neu cosin (neu, yn fwy cyffredinol, ffwythiannau esbonyddol cymhlyg).

Cyfernodau Fourier

Yn y gyfres sin real pur, f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin{\frac{n\pi x}{l}},
amnewid y sin gyda esbonyddion cymhlyg: =\sum_{n=1}^{\infty}b_n\frac{e^{i\frac{n\pi x}{l}}-e^{-i\frac{n\pi x}{l}}}{2i}
a hollti'r swm: =\sum_{n=1}^{\infty}b_n\frac{e^{i\frac{n\pi x}{l}}}{2i}-\sum_{n=1}^{\infty}b_n\frac{e^{-i\frac{n\pi x}{l}}}{2i}.
Mae swm yr -n o 1 i anfeidredd yr un fath a'r swm o +n o -anfeidredd i -1.
Felly, gallwn gyfri'r ail swm ar i nol: =\sum_{n=1}^{\infty}b_n\frac{e^{i\frac{n\pi x}{l}}}{2i}-\sum_{n=-\infty}^{-1}b_n\frac{e^{i\frac{n\pi x}{l}}}{2i}.
Gan fod y ddau swm yr un fath, gallwn eu cyfuno: =\sum_{-infty}^{+\infty}c_ne^{i\frac{n\pi x}{l}},
ble c_n={-\frac{b_n}{2i}(n\lt 0);0(n=0);\frac{b_n}{2i}(n />0)

Nodwch fod i'r cyfres sin pur, c0=0, ond yn gyffredinol (cyfresi cosin neu cymysg) nid hyn yw'r achos. Yn gyffredinol,

ffeindir y cn drwy c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-inx}dx
i ehangu f(x)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_ne^{inx}.

Cyfres Fourier arwahanol a trawsffurfiad Fourier parhaol

Felly, rydym angen datrys integriad i ffeindio cyfernodau yn y gyfres Fourier. Mae'r mynegrifau yn y gyfres ac o fewn yr integriad yr un fath heblaw am yr arwydd. Gallwn cymryd mantais o'r cymesuredd yma i symud o gyfres Fourier arwahanol i drawsffurfiad Fourier parhaol:

arwahanol -> parhaol
newidyn indecs n -> newidyn parhaol q
cyfernodau Fourier cn -> trawsffurfiad Fourier g(q)
f(x)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_ne^{inx} -> f(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}g(q)e^{iqx}dq
c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-inx}dx -> g(q)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-iqx}dx

Newidir y set o gyfernodau cn sy'n dibynnu ar newidyn indecs arwahanol n gan ffwythiant parhaol g(q), yn dibynnu ar newidyn parhaol q.
g(q) yw'r trawsffurfiad Fourier o f(x); f(x) yw'r trawsffurfiad Fourier gwrthdroedig o g(q). Nodwch y cymesuredd!

Parau Fourier yn ffiseg

Oherwydd cymesuredd y trawsffurfiad Fourier a'r trawsffurfiad Fourier gwrthdroedig, mae nifer o rhinweddau ffisegol yn dod mewn parau Fourier: os ydych yn mesur un, rydych yn derbyn y llall drwy drawsffurfiad Fourier. Mae hwn yn dechneg hynod o ddefnyddiol, ac yn gyffredin iawn mewn ffiseg arbrofol. Y ddau esiampl cyffredin yw technegau spectroscopaidd a gwasgariad:

Gallwn nawr edrych ar rhai damcanebion Fourier a gweld syt i rhagdybio ymddangosiad trawsffurfiad Fourier heb orfod gwneud y mathemateg llawn.